Bonjour quelqu’un pourrait m’expliquer comment on résout cette exercice svp ?

Réponse :

f(x) = - 1/9) x³ - 2/3) x² + 4 x + 24    définie sur [- 6 ; 6]

a) montrer que l'aire du triangle AMH est égale à f(x)

    soit  A  l'aire du triangle AMH  ⇒ A = 1/2(AH * MH)

vec(AH) = (x + 6 ; 0) ⇒ AH² = (x + 6)²  ⇒ AH = x + 6

vec(MH) = (0 ; y)  ⇒ MH² = y²  ⇒ MH = y = - 2/9) x² + 8

donc  A = 1/2((x +6)*(- 2 x²/9 + 8)) = 1/2(- 2 x³/9 + 8 x - 12 x²/9 + 48)

             = - 1/9) x³ - 2/3) x² + 4 x + 24 = f(x)  

b) calculer f '(x)

f est une fonction polynôme dérivable sur [- 6 ; 6] et sa dérivée f ' est

f '(x) = - 1/3) x² - 4/3) x + 4

c) étudier les variations de f

 f '(x) = - 1/3) x² - 4/3) x + 4

Δ = 16/9 + 16/3 = 64/9 > 0 ⇒ 2 racines ≠

x1 = 4/3 + 8/3)/- 2/3  = 12/3/- 2/3 = - 6

x2 = 4/3 - 8/3)/- 2/3 =  - 4/3/- 2/3 = 2

signe de f '(x)

  x   - 6                  2                    6

f '(x)   0        +         0          -

f (x)    f(-6) →→→→→  f(2) →→→→→→→ f(6)

              croissante    décroissante

4) en x = 2  l'aire du triangle AMH est maximale

cette aire est :   f(2) = - 1/9)*2³ - 2/3)*2² + 4*2 + 24

                                = - 8/9 - 8/3 + 8 + 24

                                = - 32/9 + 32  

                                = 256/9

Donc l'aire maximale est de 256/9

Explications étape par étape :