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Question

Bonsoir,

Dans un repère orthonormé (0; OI, OJ , OK), d'unité 1 cm, on considère les points A(O;-1;5), B(2;-1;5),
C (11; 0; 1), D (11; 4; 4), I(1; 0; 0), J(0;1;0) et K(0; 0; 1).

Un point M se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde.
Un point N se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde.
A l'instant t = 0, le point M est en A et le point N est en C.
On note Mt et Nt les positions des points M et N au bout de t seconde, t désignant un nombre réel positif.
On admet que Mt et Nt ont pour coordonnées :
Mt (t;-1;5) et N (11; 0,8t;1+0,6t).

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1. a. La droite (AB) est parallèle à l'un des axes (OI),
(OJ) ou (OK). Lequel ?

b. La droite (CD) se trouve dans un plan P parallèle à l'un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK). Lequel ?

c. Vérifier que la droite (AB) est orthogonale au plan P.

2. a Montrer que Mt Nt^2= 2t^2 - 25,2t + 138.

b. A quel instant la longueur Mt Nt est-elle minimale ?

Merci d’avance !
Bonsoir, Dans un repère orthonormé (0; OI, OJ , OK), d'unité 1 cm, on considère les points A(O;-1;5), B(2;-1;5), C (11; 0; 1), D (11; 4; 4), I(1; 0; 0), J(0;1;0

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1 Réponse

  • Mt(t;−1;5) Nt(11;0,8t;1+0,6t)
    On vérifie :
    Pour t=0 M0=A et pour t=2 M2=B Pour t=0 N0=C et pour t=5 N5=D
    1.a. A(0;−1;5) B(2;−1;5) ⃗AB(20)et⃗AB=2⃗OI
    Donc, la droite (AB) est parallèle à la droite (OI). b. Rappels
    (OIJ) : z=0
    (OIK) : y=0
    (OJK) : x=0
    C(11;0;1) D(11;4;4) ⃗CD(043)et⃗CD=4⃗OJ+3⃗OK
    Donc, la droite (CD) est parallèle au plan (OJK). p a pour équation x=k .
    C et D appartiennent à p donc k=11 et p : x=11 . c. Le vecteur ⃗OI est un vecteur normal à p.
    Le vecteur ⃗OI est un vecteur directeur de (AB) Donc, la droite (AB) est perpendiculaire au plan p.
    On considère la représentation paramétrique de (AB) : {
    Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite (AB) et du plan p , on résout le système :
    x= 11
    {x=λ donc λ=11 et E(11;−1;5)
    d. La droite (CD) est contenue dans p et (AB) est sécante au plan p en E(11;−1;5) Donc, les droites (CD) et (AB) sont sécantes si et seulement si E appartient à (CD).
    x= 11
    On considère la représentation paramétrique de (CD) :{y=4μ μ∈R
    x=λ y= −1 z= 5
    λ ∈R
    y= −1 z= 5
    z=3μ {11=11 ⇔{μ=−14 doncEn'appartientpasà(CD).
    E(11;−1;5)
    −1=4μ 5
    5=3μ μ= 3 Conclusion
    Les droites (AB) et (CD) ne sont pas sécantes 2.a. Mt(t;−1;5)et Nt(11;0,8t:1+0,6t)
    ⃗Mt Nt(0,8t+1 )
    1+0,6t−5
    le repère est orthonormé donc
    Mt N2t=(11−t)2+(0,8t+1)2+(0,6t−4)2 =121+t2−22t+0,64t2+1+1,6t+0,36t2+16−4,8t
    Mt N2t=2t2−25,2t+138
    b. On étudie les variations de la fonction f définie sur [0 ;+∞[ par :
    f(t)=2t2−25,2t+138
    f est dérivable sur [0 ;+∞[ .
    f '(t)=4t−25,2
    f '(t)=0⇔t=25,2=6,3
    4
    On donne les variations de f sous la forme d'un tableau :

    Le minimum de f est obtenu pour 6,3.
    Mt Nt=√f(t)et la fonction racine carrée est strictement croissante sur[0;+∞[.
    Donc la distance minimale est obtenue pour 6,3 secondes. Remarque
    On ne demande pas de calculer la distance minimale.
    Image en pièce jointe de la réponse salmabilala2008

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