Bonjour,' jai besoin d'aide pour une question en maths On veut fabriquer la boîte sans couvercle ci-contre. Il s’agit d’un parallélépipède rectangle dont la bas
Question
On veut fabriquer la boîte sans couvercle ci-contre.
Il s’agit d’un parallélépipède rectangle dont la base est un carré de
côté x mètres (x > 0). On va s’intéresser au coût de fabrication de
la boîte selon la valeur de x.
Contrainte : on veut que le volume de la boîte soit 10 m³.
1/ Calculer l’expression de la hauteur h en fonction de x pour que
la contrainte soit respectée.
La base est fabriquée à l’aide d’un matériau qui coûte 5 € par mètre carré, tandis que les faces latérales sont construites à l’aide d’un matériau qui coûte 2 € par mètre carré.
Soit C la fonction qui, à la longueur x, associe le coût de fabrication de la boîte.
2/ Démontrer que, pour tout x > 0, C(x) = [tex]\frac{5x^{3}+80}{x}[/tex].
3/ Démontrer que, pour tout x > 0, C est dérivable et C '( x)=[tex]\frac{10(x^{3}-8)}{x^{2}}[/tex]
4/ On va étudier le signe de [tex]x^{3}-8[/tex] sur ]0 ;+∞[ .
En vous aidant de la représentation de la fonction cube ci-contre,
recopier et compléter les équivalences suivantes :
[tex]x^{3}-8\ \textgreater \ 0[/tex]⇔[tex]x^{3} \ \textgreater \ [/tex].......⇔ [tex]x[/tex]........
5/ Établir le tableau de signes de C '( x) sur ]0 ;+∞[ .
6/ En déduire le tableau de variations de C sur ]0 ;+∞[ .
7/ Quelles sont les dimensions de la boîte pour lesquelles le coût de
fabrication est minimal ?
1 Réponse
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1. Réponse taalbabachir
Réponse :
1) calculer l'expression de la hauteur h en fonction de x pour que la contrainte soit respectée
volume de la boite est : v = x * x * h = 10 m²
⇔ h = 10/x² avec x > 0
2) démontrer que, pour tout x > 0 , C(x) = (5 x³ + 80)/x
C(x) = 5 x² + 2 (4(x * h))
= 5 x² + 2(4(x * 10/x²)
= 5 x² + 80/x
= (5 x³ + 80)/x
3) démontrer que, pour tout x > 0, C' est dérivable
et C'(x) = 10(x³ - 8)/x²
C est une fonction quotient dérivable pour tout x > 0 ²et sa dérivée
C'(x) = (15 x² * x - (5 x³ + 80))/x²
= (10 x³ - 80)/x²
C'(x) = 10(x³ - 80)/x²
4) x³ - 8 > 0 ⇔ x³ > 8 ⇔ x > 2 x ∈ ]0 ; + ∞[
5) tableau de signe de C'(x) sur ]0 ; + ∞[
x 0 2 + ∞
C'(x) || - 0 +
6) tableau de variations de C sur ]0 ; + ∞[
x 0 2 + ∞
C(x) + ∞→→→→→→→→→→ 60 →→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
7) quelles sont les dimensions de la boite pour lesquelles le coût de fabrication de la boite est minimal ?
x = 2 m et h = 10/4 = 5/2 = 2.5 m
Explications étape par étape :