Цn est une suite numérique . Цо = 4 et Цn₊₁ = ( 4Цn + 5 ) / (Цn + 3) etudier la monotonie de Цn ; quelle est la limite de Цn SVP c urgent !

Bonjour

On conjecture que la suite est décroissante.

soit f la fonction telle que f(x)=(4x+5)/(x+3)

f’(x)=7 / (x² + 6x + 9)=7/(x+3)²

f’(x)>0 pour x différent de -3

donc f(x) est strictement croissante.

On va démontrer par récurrence que la suite est décroissante

U(n+1)= f(Un)

initialisation

U1=3, donc U1<U0

hérédité

On suppose Uk>U(k+1) et on va démontrer qu’alors U(k+1)>U(k+2)

Uk>U(k+1) donc f(Uk)>f(U(k+1)) ; car f est croissante et conserve donc l’ordre des images.

f(Uk)=U(k+1) ; f(U(k+1))=U(k+2)

donc U(k+1)>U(k+2)

La propriété est démontrée, donc la suite est décroissante.