Bonjour, pouvez-vous m’aider à résoudre ce problème de physique s’il vous plaît ? Un joueur de basket-ball lance un ballon avec une vitesse initiale Vo, selon u

Réponse :

Explications :

Bonjour,

Démonstration de l’équation de la trajectoire :

Système étudié : Balle, centre de gravité G

Référentiel : terrestre considéré galiléen

Vo a pour coordonnées dans le repère (O; Ox, Oz) :  

Vo x = Vo * cos Θ° et Vo z = Vo * sinΘ°

Résistance de l'air négligée donc frottements de l'air et poussée d'Archimède négligées (bille en chute libre) donc : ∑ Forces = P balle

Seconde loi de Newton :

∑ Forces = P bille = m * g = m * aG donc  aG = g

Par projection sur les 2 axes du repère (O; Ox, Oz), les 2 équations différentielles du mouvement :

aG x = 0 et aG z = -g

par intégration , on a :

VG x = K1

VG z = -g * t + K2

Où  K1 et K2 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :

t = 0, VG x(0) = Vo * cosΘ° donc K1 = Vo * cosΘ°

t = 0, VG z(0) = Vo * sinΘ°  donc K2 = Vo * sinΘ°  

soit : VG x = Vo * cosΘ° et VG z = -g * t + Vo * sinΘ°  

par intégration :

OG x = Vo * cosΘ° * t + K3

OG z = -1/2 * g * t² + Vo * sinΘ° * t + K4

Où  K3 et K4 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :

a t = 0, OG x(0) = 0 donc K3 = 0

a t = 0, OG z(0) = 0 (référence hauteur du lancé)

On obtient donc les équations horaires paramétriques du mouvement :

OG x = Vo * cosΘ° * t et  

OG z = -1/2 * g * t² + Vo * sinΘ° * t

Le mouvement de la balle est donc composé d'un :

- mouvement rectiligne uniforme de vitesse constante V1 sur (Ox)

- mouvement uniformément varié (chute libre verticale d'accélération g) de vitesse initiale non nulle sur (Oz).

Équation de la trajectoire : éliminons le temps :

OG x = Vo * cosΘ° * t  donc t = X / (Vo * cosΘ°)

reportons ce temps dans OG z (x)  soit :  

OG z (x)  = -g/2 * (X / (Vo * cosΘ°)² + Vo * sinα° * X / (Vo * cosΘ°)

Equation de la trajectoire :

OG z (x)  = - X² * g / (2 * (Vo * cosΘ°)² ) + X * tanΘ°

Obtention de la relation demandée :

d'après les données du dessin : X = L et OG z (x) = h

donc h  = - L² * g / (2 * (Vo * cosΘ°)² ) + L * tanΘ°

soit  L² * g / (2 * (Vo * cosΘ°)² ) = L * tanΘ°  - h

donc 2 * (Vo * cosΘ°)² = L² * g / L * tanΘ°  - h = L * g / tanΘ°  - h / L

donc Vo² =  L * g / 2 (cosΘ°)² (tanΘ°  - h / L) CQFD

Vérifiez mes valeurs !!