On considère la courbe P d'équation y = x² et A(0; 1). Un point M(x; y) varie sur P : le but de l'exercice est d'étudier la distance AM, notée d(x), en fonction

Bonjour,

1. a) Pour trouver les points de P situés à une distance égale à 1 de A, il faut trouver les points M(x,y) tel que AM = 1

Or M se situe sur la courbe P d'équation y=x², donc pour une abscisse x, son ordonnée est x².
On a donc :
[tex]x_M = x \\y_M = x^2\\x_A = 0\\y_A = 1[/tex]
On rappelle la formule du calcul de la distance :

AM = [tex]\sqrt{(x_M-x_A)^2 + (y_M-y_A)^2}[/tex]
On remplace par leurs valeurs définies au dessus, on a donc :
AM = [tex]\sqrt{(x-0)^2 + (x^2-1)^2} = \sqrt{x^2+x^4-2x^2+1} = \sqrt{x^4-x^2+1}[/tex]
On cherche x tel que AM = 1
Il faut donc que [tex]\sqrt{x^4-x^2+1} = 1[/tex]
On élève au carré, puis on enlève 1 de chaque côté.
Donc [tex]x^4-x^2 = 0[/tex]
[tex]x^2(x^2-1) = 0[/tex]
[tex]x^2(x+1)(x-1) = 0[/tex]
L'ensemble des solutions pour x est donc {0,-1,1}

Les points de P situés à une distance égale à 1 de A sont donc :
(0,0),(-1,1),(1,1) (On rappelle que pour une abscisse x, l'ordonnée est x²)

b) Il faut tracer un cercle de rayon 1 de centre A. Les points d'intersection entre le cercle et P seront les points situés à une distance égale à 1 de A.

2. Pour cela, on peut tracer un cercle de centre A et de rayon 1.25. On compte le nombre de points d'intersection entre le cercle et P, et on obtient le nombre de points de P tel que d(x) = 1.25.
On en trouve 2.

Même chose pour d(x) = 0.5, on en trouve 0.

3. On réutilise la formule du calcul de la distance :

AM = [tex]\sqrt{(x_M-x_A)^2 + (y_M-y_A)^2}[/tex]
En remplaçant par les valeurs des coordonnées de A et M définies plus haut, le résultat obtenu était :
AM = [tex]\sqrt{(x-0)^2 + (x^2-1)^2} = \sqrt{(x^2-1)^2 + x^2}[/tex]

4. Les valeurs ci dessous sont toutes approximatives car trouvées par lecture graphique.

On trace la fonction d(x), et on regarde pour quelles valeurs de x, on obtient respectivement d(x) = 1.
On trouve bien les valeurs de -1,0 et 1

On fait la même chose pour d(x) = 1.25
On trouve environ -1.2 et 1.2

d(x) ne semble jamais valoir 0.5

b. Les antécédents de 0.9 sont : -0.85,-0.5,0.5,0.85 environ

c. Les valeurs de x pour lesquelles le point M est le plus proche de A semblent être -0.7 et 0.7 environ

d. Pour k < 0.85 , l'équation d(x) = k n'a aucune solution
Pour 0.85 [tex]\leq[/tex] k < 1, l'équation d(x) = k a 4 solutions
Pour k = 1, l'équation d(x) = k a 3 solutions
Pour k > 1, l'équation d(x) = k a 2 solutions

Je te mets en pièce jointe le graphique avec f(x) en rouge, d(x) en vert, le cercle de centre A et de rayon 1.25 en violet, le cercle de centre A et de rayon 0.5 en noir.

Si tu as des questions n'hésite pas !