Bonsoir, j’ai cet exercice à faire pour mercredi et j’avoue que j’ai du mal, si quelqu’un peut pourrait m’aider svp ça serait super sympa. Partie A Soit g la fo
Question
Partie A
Soit g la fonction définie et dérivable sur R telle que,
pour tout réel x:
8(x) = -2r3 + x2 -1.
1. a. Étudier le sens de variation de la fonction g.
b. Déterminer les limites de la fonction g en -co et en +.
2. Démontrer que l'équation g(x)= 0 admet une
unique solution dans R, notée a, et que a appartient
à (-1;0).
3. En déduire le signe de g sur R.
Partie B
Soit f la fonction définie et dérivable sur R telle que,
pour tout réel x:
f(x) = (1+x+x? + + x) e 2x+1
On note f' la fonction dérivée de la fonction f sur R.
1. Démontrer que lim f(x) = -0.
2. a. Démontrer que, pour tout x > 1:
1 b. En déduire que, pour tout x > 1:
o< f (x) < 4xe-2x+1
c. On admet que, pour tout entier naturel n:
lim r"e * = 0.
1-0
+00
Vérifier que, pour tout réel x:
4x'e-23+1 = (2x)e 2;
puis montrer que:
lim 4re-2x+1 = 0.
Y+00
d. On note C, la courbe représentative de f dans un
repère orthonormé (0 : 1, j). En utilisant la question
précédente, déterminer la limite de fen + et en don-
ner une interprétation graphique.
3. Démontrer que, pour tout x de R:
f'(x) = (-2x + x2 - 1)e-2x+!
4. À l'aide des résultats de la partie A, déterminer le
sens de variation et les limites de f sur R.
1 Réponse
-
1. Réponse taalbabachir
Réponse :
partie A
g(x) = - 2 x³ + x² - 1
1.a. étudier le sens de variation de la fonction g
g est une fonction polynôme dérivable sur R et sa dérivée g ' est
g '(x) = - 6 x² + 2 x
le signe de la fonction g '(x) est
x - ∞ 0 1/3 + ∞
g '(x) - 0 + 0 -
variation +∞→→→→→→→→ -1 →→→→→→→→ - 26/27 →→→→→→→→→ - ∞
de g(x) décroissante croissante décroissante
b) déterminer les limites de la fonction g en - ∞ et en + ∞
lim g(x) = lim (- 2 x³ + x² - 1) = lim - 2 x³(1 - 1/x + 1/x³)
x→ - ∞ x→ - ∞ x → - ∞
lim 1/x = 0 et lim 1/x³ = 0 par addition lim (1 - 1/x + 1/x³) = 1
x→ - ∞ x → - ∞ x → - ∞
lim - 2 x³ = + ∞ donc par produit lim g(x) = + ∞
x → - ∞ x → - ∞
donc par analogie nous déduisons que la lim g(x) = - ∞
x → + ∞
car lim - 2 x³ = - ∞ et lim (1 - 1/x + 1/x³) = 1
x → + ∞ x → + ∞
Donc par produit lim g(x) = - ∞
x → + ∞
2) démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution dans R
notée a, et a ∈ [- 1 ; 0]
- la fonction g est une fonction continue sur R car elle est dérivable sur R
- g est décroissante sur l'intervalle ]- ∞ ; 0]
- lim g(x) en - ∞ = + ∞ et lim en 0 = - 1
sur l'intervalle [- 1 ; 0] on a f(- 1) = 2 et f(0) = - 1
donc la fonction g(x) = 0 admet une unique solution a comprise entre - 1 et 0
3) en déduire le signe de g sur R
x - ∞ a + ∞
g(x) + 0 -
Explications étape par étape :