Bonjour pouvez-vous m'aider pour cet exercice de mathématiques sur les suites arithmétiques. Merci

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

U(1)=(2/3)(1/2)+1=1/3 + 1=4/3

U(2)=(2/3)(4/3)+1=8/9 +1=17/9

2)

U(n+1)-U(n)=(2/3)U(n)+1-U(n)=U(n)(2/3-1)+1=-(1/3)U(n)+1 qui n'est pas une valeur constante .

Donc (U(n)) pas arithmétique.

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U(n+1)/U(n)=(2/3)U(n)/U(n) +1/U(n)=(2/3) + 1/U(n) qui n'est pas une valeur constante .

Donc (U(n)) pas géométrique.

3)

a)

V(n)=U(n)-3

V(n+1)=U(n+1)-3 mais U(n+1)=(2/3)U(n)+1 donc :

V(n+1)=(2/3)U(n)+1-3

V(n+1)=(2/3)U(n)-2

On met (2/3) en facteur :

V(n+1)=(2/3)[U(n)-3] ===>car (2/3)(-3)=-2

Donc :

V(n+1)=(2/3)V(n) qui prouve que (V(n)) est une suite géométrique de raison  q=(2/3) et de 1er terme V(0)=U(0)-3=(1/2)-3=-5/2.

b)

Le cours dit que :

V(n)=V(0)  x q^n soit ici :

V(n)=-(5/2) x (2/3)^n

c)

Mais U(n)=V(n)+3 donc :

U(n)=-(5/2) x (2/3)^n + 3