Bonjour pouvez vous m’aider, 1re S, sur les dérivées. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant. a) C admet une ta

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

On va calculer d'abord la dérivée :

f(x)=(x²+3x+9)/3x est de la forme u/v avec :

u=x²+3x+9 donc u'=2x+3

v=3x donc v'=3

f '(x)=(u'v-uv')/v²

f '(x)=[3x(2x+3)-3(x²+3x+9)]/(3x)²

Je te laisse développer et trouver à la fin :

f '(x)=3(x²-9)/9x²

f '(x)=(x²-9)/3x² ou f '(x)=(x-3)(x+3)/3x

a)

FAUX

On résout f '(x)=0 soit :

x²-9=0

x²=9

x=-3 OU x=3

Tgte horizontale en  x=3 sur ]0;+∞[

b)

VRAI.

f '(x) est du signe de (x²-9) qui est négatif entre ses racines donc variation de f(x) :

x----->0..................+3.............+∞

f '(x)->||........-..........0.......+........

f(x)-->||.........D......?.........C......

D=flèche qui descend et C=flèche qui monte .

c)

FAUX

f '(x)=(x²-9)/3x OU f '(x)=(x-3)(x+3)/3x

d)

FAUX

Voir tableau ci-dessus :

f (x) < 0 pour x ∈ ]0;3] .

e)

VRAI

xA=6

f(6)=(6²+18+9)/18=63/18=7/2

f '(6)=(6²-9)/(3*6²)=27/108=1/4

Tgte en A :

y=(1/4)(x-6)+7/2

y=(1/4)x-3/2+7/2

y=(1/4)+2

f)g)

Pour D au-dessus de C , on résout :

-(2/3)x+5 > (x²+3x+9)/3x soit :

(x²+3x+9)/3x+ (2/3)x-5 < 0

On réduit au même dénominateur qui est 3x :

(x²+3x+9x+2x²-15x)/3x < 0

(3x²-12x+9) 3x < 0

(x²-4x+3)/3x < 0

Il faut faire un tableau de signes .

(x²-3x+3) est < 0 entre ses racines qui sont x=1 et x=3.

x------------------>0..................1............3.............+∞

(x²-4x+3)------>...........+.........0.....-.....0.......+.........

3x---------------->..........+..............+.................+.........

(x²-3x+3)/3x---->.........+.......0.......-....0.........+.........

D est au-dessus de C pour x ∈]1;3[ et au-dessous pour :

x∈]0;1[ U ]3;+∞[

Voir graph joint.