Bonjour, pouvez vous m’aider juste pour la question allegro de l’exercixe, c’est un dm que je dois rendre demain!! Merci beaucoup..

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

"Juste la question allegro" : c'est faire tout le pb !!

1)

Rayon du récipient = 9 cm

Hauteur bille et eau = 18 cm

Volume eau + bille=V total=π x 9² x 18=1458π

Volume eau seule = V total- V bille

Volume eau seule =1458π - (4/3)π x 9³=1458π -972π=486π

V deuxième bille=(4/3) x π x r³

V total=486π + (4/3)π x r³

Il faut que l'eau soit tangente à la bille .

Hauteur eau + bille=2r

V total=π x 9² x 2r=162π x r

On a donc l'équation :

486π + (4/3)π x r³=162π x r

(4/3)π x r³ -162π x r+486π=0

On multiplie chaque terme par 3 et on divise chacun par π  :

4r³-486r+1458=0

2)

f(r)=4r³-486r+1458

f '(r)=12r²-486

f '(r) est < 0 entre ses racines.

12r²-486=0

r²=40.5

r=-√40.5 ou r=√40.5 ≈ 6.4 cm

r------>0...........................√40.5................9

f '(r)-->..............-................0...........+...........

f (r)--->1458...........D.......≈-604....C......0

D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.

3)

Sur [0;√40.5] , la fct f(r) est continue et strictement décroissante passant d'une valeur positive pour r=0 à une valeur négative pour r=√40.9. Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe un unique réel α tel que f(α)=0.

Sur [√40.5;9] , la fct f(r) est continue et strictement croissante passant d'une valeur négative  pour r=√40.5 à la valeur zéro  pour r=9.Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , r=9 sera la seule valeur qui annule f(r) dans cet intervalle.

4)

On a donc r=9 comme solution d'une part.

D'autre part , la calculatrice donne :

r ≈ 3.3 ( en cm , arrondi au 1/10e)

car f(3.29) ≈ 1.5052 et f(3.3) ≈ -2.052

Voir graph joint.