Pouvez-vous m’aider à trouver les réponses de chaque proposition et les justifier

Bonjour, voici la réponse à ton exercice :

Axe de symétrie d'une parabole

· Pour l'axe de symétrie d'une parabole de fonction f(x) = ax² + bx + c, on utilise la formule :

[tex]x = -\frac{b}{2a}[/tex]

Et donc pour la fonction

f(x) = - 4(x - 6)(x + 8)

= - 4(x² + 8x - 6x - 48)

= - 4x² -8x + 192

On aura :

x = [tex]-\frac{- 8}{2\times(-4)}[/tex]

x = - 1

Sommet d'une courbe

· Pour déterminer le sommet d'une courbe d'équation y = ax² + bx + c, on utilise la formule :

[tex]S(-\frac{b}{2a} ; f(-\frac{b}{2a}) )[/tex]

Et donc pour la courbe d'équation

y = - 2x² + 3

On aura :

[tex]-\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2\times(-2)} = 0[/tex]

et f(0) = - 2 × 0 + 3 = 3

Donc S(0 ; 3)

Racine(s) d'un polynôme à second degré

On pose pour [tex]x\in \mathbb{R}[/tex], f(x) = 3(x - 2)(x + 3).

On cherche les racines de la fonction, donc lorsqu'elle sera égale à 0.

On pose donc l'équation :

3(x - 2)(x + 3) = 0 si et seulement si x - 2 = 0 ou x + 3 = 0

                           si et seulement si x = 2 ou x = - 3

Donc les solutions de l'équation sont S = {2 ; - 3}.

Sens sur un intervalle

On pose pour [tex]x\in \mathbb{R}[/tex], f(x) = - 3x.

On se demande sur quel intervalle est-elle décroissante. On remarque que c'est une fonction de la forme ax + b, dont a est le coefficient directeur (qui va diriger la droite) avec a < 0. Étant donné que a est négatif, alors la droite sera décroissante sur [tex]\mathbb{R}[/tex] ou [tex]]- \infty ; + \infty [[/tex].

Donc la fonction est décroissante sur

· [tex]] - \infty ; 0][/tex]

· [tex][0 ; + \infty [[/tex]

Signe d'une fonction

Une fonction est positive lorsque f(x) > 0, alors :

⇔ [tex]- 3(x - 2)(x + 2) > 0[/tex]

⇔ [tex]-3x^2+12 > 0[/tex]

⇔ [tex]-3x^2 > -12[/tex]

⇔ [tex]3x^2 < 12[/tex]

⇔ [tex]x^2 < 4[/tex]

⇔ [tex]-\sqrt{4} < x < \sqrt{4}[/tex]

⇔ [tex]-2 < x < 2[/tex]

Donc l'intervalle de solution est [-2 ; 2]

En espérant t'avoir aidé au maximum !