Bonjour Pourriez vous m’aider (ne serait-ce qu’un peu) s’il vous plaît je bloque sur cet exercice depuis une semaine… Merci d’avance !

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

a)

Voir pièce jointe. Bien sûr : OI=1 car nous avons un cercle trigonométrique.

b)

OI=OM=1 donc le triangle IOM est isocèle en O. Ses angles à la base sont égaux.

Angle OIM=π/3

Donc OIM=IMO=(π-π/3)/2=(2π/3)/2=π/3

Le triangle OIM a ses 3 angles égaux à π/3 : il est donc équilatéral.

c)

Voir pièce jointe.

d)

Dans un triangle équilatéral , la hauteur issue d'un sommet est aussi médiatrice du côté opposé.

Donc M1 est milieu de [OI].

e)

cos π/3=OM1=1/2

f)

Dans le triangle OM1M rectangle en M1 , d'après Pythagore :

OM²=OM1²+MM1²

1²=(1/2)²+MM1²

MM1²=1-1/4

MM1²=3/4

MM1=√3/2 ==>seul 3 est sous la racine.

Or MM1=OM2=sin π/3

Donc :

sin π/3=√3/2

2)

a)

Voir 2ème figure.

b)

On a donc l'angle N1ON qui mesure π/4 , soit 45°. C'est plus facile de raisonner avec 45°.

Le triangle ON1N est rectangle en N1. Donc la somme de ses angles aigus vaut 90°. OK ?

Donc :

^ONN1=90-45=45°

Donc :

Le triangle ONN1 est isocèle en N1 car il a ses angles à la base égaux.

Donc :

N1O=N1N

Pythagore dans ON1N :

ON²=N1O²+N1N²

ON²=N1O² x 2

1²=2N1O²

N1O²=1/2

N1O=√(1/2)

N1O=√1/√2

On multiplie par √2/√2 qui vaut 1 et ne change pas la valeur.

N1O=(√1/√2)(√2/√2)

N1O=√2/2

Mais N1O=cos π/4 et N1N=sin π/4

Donc :

cos π/4=sin  π/4=√2/2